Avec une fonction polynôme (2)

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=-2x^2-4x+2\).
1. Démontrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a \(f(x)=-2(x+1)^2+4\).
2. Démontrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a \(f(x)\leq4\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=4\).
4. Déduire des questions précédentes le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ainsi que la valeur en laquelle il est atteint.
5. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a<b\). Montrer que : \(f(b)-f(a)=-2(b-a)(b+a+2)\).
6. En utilisant la question \(5\)., démontrer que la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \([-1;+\infty[\).
7. En utilisant la question \(5\)., démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \(]-\infty;-1]\).
8. En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).